Conceptos de incremento y de razón de cambio

La derivada : 

En matemáticas se define a la derivada de una función como la medida de la rapidez con la que se altera el valor de dicha función matemática, esto depende de si cambia el valor de su variable independiente. La derivada de una función se interpreta como un concepto local, esto quiere decir que se calcula como el limite de la rapidez de cambio media de la función en un intervalo determinado, cuando el intervalo considerado para dicha variable independiente se torna cada vez más pequeño.

Concepto de incremento: 

Cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial. Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo ∆x, que se lee "delta x". El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro.

Ejemplo de incremento:

Por ejemplo, si el valor inicial de una variable “x”, x1, es igual a 3, y el valor final x2 es igual a 7, el incremento ∆x = x2 - x1 = 7 - 3 = 4: la variable se ha incrementado positivamente en 4 unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y el valor final 3, ∆x = x2 - x1 = 3 - 7 = -4: la variable ha tenido un incremento negativo (decremento) de 4 unidades.

Para calcular el incremento de ∆x hay que restar el valor final menos el inicial 

Razón de cambio: 

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo :

u El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)

u La cantidad de dinero en una cuenta en un banco

uEl volumen de un globo mientras se infla

uLa distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje

El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+∆t, es el incremento

La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio ∆Q en Q con respecto del cambio ∆t en t, por lo que es el cociente.

Razón de cambio instantánea:

Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando ∆t→0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada 

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.

Creciente o decreciente:

También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así:

Q es creciente en el instante t si  Q es decreciente en el instante t si.

Ejemplo de razón de cambio con gráfica:

Tenemos por definición que la razón de cambio con palabras sencillas es calcular que cambio ocurrió en una función de un Punto “A” a un punto “B”.

En esto se busca encontrar los valores de delta "x" y delta "y" como se muestra en la gráfica
y el resultado nos dará el cambio de razón.